می‌دانیم که معادلهٔ درجه دوم در حالت کلی به صورت مقابل است: (۱) $ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$
ما می‌خواهیم بررسی کنیم که چگونه می‌توان بدون حل این معادله دربارهٔ وجود و تعداد جواب‌های حقیقی آن اظهارنظر کرد.
الف) در این معادله اگر ضرایب $a$ و $c$ هم‌علامت نباشند، دربارهٔ علامت $\Delta$ چه می‌توان گفت؟
ب) اگر $a$ و $c$ هم‌علامت نباشند، آنگاه معادلهٔ (۱) دارای $\dots$ ریشهٔ حقیقی متمایز است.
معادلهٔ کلی درجه دوم: $ax^2 + bx + c = 0$. ممیز (دلتا): $\Delta = b^2 - 4ac$.
**الف) علامت $\Delta$ وقتی $a$ و $c$ هم‌علامت نباشند**
وقتی ضرایب $a$ و $c$ هم‌علامت نباشند، حاصل ضرب آن‌ها ($ac$) **منفی** است ($ac < 0$).
بنابراین، عبارت $4ac$ نیز منفی خواهد بود ($4ac < 0$).
در نتیجه، عبارت $-4ac$ **مثبت** خواهد بود ($-4ac > 0$).
با توجه به فرمول $\Delta = b^2 - 4ac$، و از آنجایی که $b^2 \ge 0$ و $-4ac > 0$، پس:
$$\Delta = b^2 + (-4ac) > 0$$
**نتیجه**: اگر $a$ و $c$ هم‌علامت نباشند، علامت $\Delta$ **مثبت** است ($\Delta > 0$).
**ب) تعداد ریشه‌های حقیقی متمایز**
از آنجایی که $\Delta > 0$ است، معادلهٔ درجه دوم دقیقاً **دو** ریشهٔ حقیقی متمایز دارد.
**نتیجه**: اگر $a$ و $c$ هم‌علامت نباشند، آنگاه معادلهٔ (۱) دارای **دو** ریشهٔ حقیقی متمایز است.
معادلهٔ مقابل را در نظر می‌گیریم: $3x^2 + 5x - 1 = 0$
الف) توضیح دهید چرا این معادله دارای دو ریشهٔ حقیقی متمایز است.
ب) آیا بین ضرایب معادله و مجموع ریشه‌ها ($S$) رابطه‌ای وجود دارد؟ برای پاسخ به این سؤال، معادله را حل می‌کنیم:
$$\Delta = b^2 - 4ac = \dots$$
$$\begin{cases} \alpha = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dots \\ \beta = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dots \end{cases}$$
$$S = \alpha + \beta = \dots + \dots = \dots$$
معادله: $3x^2 + 5x - 1 = 0$. ضرایب: $a = 3$, $b = 5$, $c = -1$.
**الف) توضیح وجود دو ریشهٔ حقیقی متمایز**
معادله دارای دو ریشهٔ حقیقی متمایز است، زیرا ضرایب $a=3$ و $c=-1$ **هم‌علامت نیستند** (یکی مثبت و دیگری منفی است).
در این حالت، حاصل ضرب $ac = (3)(-1) = -3$ منفی است، پس $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-1) = 25 + 12 = 37$ **مثبت** است ($\Delta > 0$).
**ب) حل معادله و محاسبهٔ مجموع ریشه‌ها ($S$)**
**محاسبهٔ $\Delta$**:
$$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-1) = 25 + 12 = 37$$
**محاسبهٔ ریشه‌ها**:
$$\alpha = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2(3)} = \frac{-5 + \sqrt{37}}{6}$$
$$\beta = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2(3)} = \frac{-5 - \sqrt{37}}{6}$$
**محاسبهٔ مجموع ریشه‌ها ($S$)**:
$$S = \alpha + \beta = \left( \frac{-5 + \sqrt{37}}{6} \right) + \left( \frac{-5 - \sqrt{37}}{6} \right)$$
$$S = \frac{(-5 + \sqrt{37}) + (-5 - \sqrt{37})}{6} = \frac{-5 - 5 + \sqrt{37} - \sqrt{37}}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$
**رابطه بین ضرایب و مجموع ریشه‌ها**: بله، رابطه‌ای وجود دارد. مجموع ریشه‌ها ($S = -\frac{5}{3}$) برابر با **منفی نسبت ضریب $x$ به ضریب $x^2$** است:
$$S = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{3}$$
ملاحظه می‌شود که $S = -\frac{b}{a}$.
پ) درستی نتیجهٔ فوق را در معادلهٔ زیر هم بررسی می‌کنیم:
$$3x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(3x - 7) = 0 \Rightarrow \begin{cases} \alpha = \dots \\ \beta = \dots \end{cases}$$
$$S = \alpha + \beta = \dots + \dots = \frac{7}{3} = -\frac{b}{a}$$
معادله: $3x^2 - 7x = 0$. ضرایب: $a = 3$, $b = -7$, $c = 0$.
**۱. حل معادله با تجزیه**
$$3x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(3x - 7) = 0$$
ریشه‌های معادله عبارتند از:
$$\begin{cases} x = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \\ 3x - 7 = 0 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3} \Rightarrow \beta = \frac{7}{3} \end{cases}$$
**۲. محاسبهٔ مجموع ریشه‌ها ($S$)**
$$S = \alpha + \beta = 0 + \frac{7}{3} = \frac{7}{3}$$
**۳. بررسی رابطهٔ $S = -\frac{b}{a}$**
$$-\frac{b}{a} = -\frac{(-7)}{3} = \frac{7}{3}$$
**نتیجه**: درستی نتیجهٔ $S = -\frac{b}{a}$ برای این معادله نیز تأیید می‌شود: $$S = \frac{7}{3} = -\frac{b}{a}$$
ت) درستی نتیجهٔ بالا را در حالت کلی ثابت می‌کنیم. فرض کنیم برای معادلهٔ (۱)، مقدار $\Delta$ مثبت باشد. پس معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز مثل $\alpha$ و $\beta$ دارد:
$$\begin{cases} \alpha = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ \beta = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dots \end{cases} \Rightarrow S = \alpha + \beta = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \dots = \dots$$
ث) با مفروضات قسمت قبل، ثابت کنید: $P = \alpha\beta = \frac{c}{a}$
معادلهٔ کلی: $ax^2 + bx + c = 0$ و فرض $\Delta = b^2 - 4ac > 0$.
**ت) اثبات مجموع ریشه‌ها ($S = -\frac{b}{a}$)**
ریشه‌ها به صورت زیر تعریف می‌شوند:
$$\begin{cases} \alpha = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ \beta = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \end{cases}$$
مجموع ریشه‌ها ($S$) عبارت است از:
$$S = \alpha + \beta = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$
با جمع صورت‌ها، عبارت رادیکالی حذف می‌شود:
$$S = \frac{(-b + \sqrt{\Delta}) + (-b - \sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b - b + \sqrt{\Delta} - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a}$$
**اثبات مجموع ریشه‌ها**: $$S = -\frac{b}{a}$$
**ث) اثبات حاصل ضرب ریشه‌ها ($P = \frac{c}{a}$)**
حاصل ضرب ریشه‌ها ($P$) عبارت است از:
$$P = \alpha\beta = \left( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right)$$
صورت کسر از اتحاد مزدوج $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ پیروی می‌کند. در اینجا $A = -b$ و $B = \sqrt{\Delta}$ است:
$$P = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2}$$
مقدار $\Delta$ را جایگذاری می‌کنیم ($\Delta = b^2 - 4ac$):
$$P = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2}$$
با ساده‌سازی کسر (حذف $4a$ از صورت و مخرج):
**اثبات حاصل ضرب ریشه‌ها**: $$P = \frac{c}{a}$$
